1824–2024 : deux siècles de Réflexions sur la thermodynamique

2024 marque les 200 ans des Réflexions sur la puis­sance motrice du feu de Sadi Car­not. Fils de Lazare Car­not, figure majeure de la Révo­lu­tion fran­çaise et fon­da­teur de l’École poly­tech­nique, Sadi (X1812) n’a que 28 ans quand il publie son pre­mier et unique ouvrage. Reçues dans l’indifférence, ses Réflexions seront redé­cou­vertes après sa mort et recon­nues a pos­te­rio­ri comme l’acte de nais­sance de la thermodynamique.

L’École poly­tech­nique s’engage pour célé­brer l’anniversaire des Réflexions de Sadi Car­not. Une expo­si­tion est ouverte au Mus’X pour don­ner à voir le conte­nu de ce texte fon­da­teur, ses ori­gines et ses fruits. Un expo­sé de média­tion scien­ti­fique accom­pagne la visite, ame­nant cha­leur, vapeur et entro­pie dans le grand hall de l’École.
Enfin, un col­loque inter­na­tio­nal se tien­dra à l’École en sep­tembre pour ras­sem­bler la grande famille de la ther­mo­dy­na­mique autour de son ancêtre commun.

Sadi Car­not est né en 1796 au palais du Petit Luxem­bourg. Son père Lazare est alors chef d’État, l’un des cinq direc­teurs du Direc­toire, après avoir été membre du Comi­té de salut public en 1793–1794 et à ce titre avoir impul­sé la créa­tion de l’École cen­trale des tra­vaux publics, future École poly­tech­nique. Le pré­nom de son fils vient du poète per­san du XIII^e siècle, Saâ­di, que Lazare affec­tion­nait par­ti­cu­liè­re­ment. Ce pré­nom mar­que­ra l’histoire de la famille Car­not et sera aus­si por­té par le neveu de Sadi (X1857), qui sera pré­sident de la III^e Répu­blique avant d’être assas­si­né. Mathé­ma­ti­cien, phy­si­cien et membre de l’Institut (actuelle Aca­dé­mie des sciences), Lazare s’implique direc­te­ment dans l’éducation et la for­ma­tion de ses fils, une rare­té à l’époque.

« Sadi Carnot suit les cours de Dulong (X1801) et Arago (X1803), jeunes enseignants polytechniciens en pointe de la recherche en physique. »

Élève au lycée Char­le­magne à Paris, Sadi est admis à 16 ans et demi à l’X. Il y suit notam­ment les cours de Dulong (X1801) et Ara­go (X1803), jeunes ensei­gnants poly­tech­ni­ciens en pointe de la recherche en phy­sique en train de se faire.

En 1814 il par­ti­cipe à la défense de Paris, sort dans le génie et rejoint l’École de l’artillerie et du génie de Metz. Mili­taire, Sadi demande une déro­ga­tion dès 1819 et conti­nue sa for­ma­tion à la Sor­bonne, au Col­lège de France et au Conser­va­toire des arts et métiers où il suit les cours de chi­mie de Desormes (X1794). En 1821 il a rejoint son père en exil à Mag­de­bourg et, pro­ba­ble­ment sous son influence – Lazare est l’auteur d’un Essai sur les machines en géné­ral (1783) ou des Prin­cipes fon­da­men­taux de l’équilibre et du mou­ve­ment (1803) –, com­mence à s’intéresser aux machines à vapeur et lit tout ce qui s’écrit sur la cha­leur. En 1824 Sadi Car­not est à un tour­nant de sa vie.

Son père Lazare est décé­dé l’année pré­cé­dente, en exil à Mag­de­bourg. Lieu­te­nant du génie, Sadi est en posi­tion de dis­po­ni­bi­li­té pour mener en paral­lèle des recherches, depuis trois ans, sur la théo­rie des machines à feu et il s’apprête à publier le résul­tat de ses Réflexions.

Les Réflexions, acte de naissance de la thermodynamique

Les 120 pages des Réflexions s’ouvrent sur un mélange d’enthousiasme et de frus­tra­tion. Si Sadi admire les prouesses tech­niques des inven­teurs de machine, il sou­ligne en même temps leur manque de com­pré­hen­sion fondamental.

« Mal­gré les tra­vaux de tous genres entre­pris sur les machines à feu, mal­gré l’état satis­fai­sant où elles sont aujourd’hui par­ve­nues, leur théo­rie est fort peu avan­cée et les essais d’amélioration ten­tés sur elles sont encore diri­gés presque au hasard. » 

Sadi Car­not se donne donc comme ambi­tion de trou­ver ce qui est com­mun à toutes les machines, indépendam­ment de leurs détails tech­niques. Ce fai­sant, il réa­lise un triple tour de force scien­ti­fique qui donne à son œuvre sa postérité.

« Carnot adopte une approche conceptuelle, fondamentale. »

La pre­mière prouesse de Car­not tient à l’originalité de son approche. Alors qu’un pro­blème appli­qué (le ren­de­ment d’un moteur) peut sem­bler rele­ver du savoir-faire tech­nique, Car­not adopte une approche concep­tuelle, fon­da­men­tale. Il ne se contente cepen­dant pas de res­ter dans la théo­rie, mais appuie sa réflexion sur de récents résul­tats de phy­sique des gaz, éclaire des contro­verses tech­niques et tire de ses conclu­sions des recom­man­da­tions pra­tiques pour la concep­tion de meilleures machines.

Le second exploit de Car­not tient à la puis­sance des outils qu’il invente pour trai­ter son pro­blème. C’est ici que naissent des concepts qui sont depuis deve­nus fami­liers à tous les phy­si­ciens : l’idée de ther­mo­stats (« Deux corps, aux­quels on peut don­ner ou enle­ver de la cha­leur sans faire varier leur tem­pé­ra­ture, feront les fonc­tions de deux réser­voirs indé­fi­nis de calo­rique ») ; la notion de cycle ther­mo­dy­na­mique (il ne faut pas arrê­ter l’analyse quand la machine a pro­duit son tra­vail : « Si l’on veut recom­men­cer une opé­ra­tion sem­blable à la pre­mière, […] il faut d’abord réta­blir les choses dans leur état pri­mi­tif ») ou celle de trans­for­ma­tions infi­ni­té­si­males réver­sibles (« Il faut faire en sorte que les corps mis en contact [ther­mique] les uns avec les autres dif­fèrent peu entre eux de tem­pé­ra­ture »), bien avant qu’elles ne deviennent le cau­che­mar des taupins.

Le der­nier tour de force de Car­not est de tou­cher du doigt les fon­de­ments d’une science encore incon­nue en 1824. Son intui­tion le guide vers ce qui devien­dra le second prin­cipe de la thermodynamique.

« Il ne suf­fit pas, pour don­ner nais­sance à la puis­sance motrice, de pro­duire de la cha­leur : il faut encore se pro­cu­rer du froid ; sans lui la cha­leur serait inutile. »

“Carnot imagine la machine à feu comme un moulin à eau.”

De cette épi­pha­nie, Car­not tire une série de résul­tats deve­nus clas­siques : un moteur peut être opé­ré en sens inverse pour trans­fé­rer la cha­leur du froid vers le chaud en consom­mant du tra­vail ; aucun moteur ne peut être plus effi­cace qu’un moteur réver­sible ; l’efficacité maxi­male ne dépend pas de la nature du fluide uti­li­sé, mais uni­que­ment des tem­pé­ra­tures entre les­quelles le moteur opère ; cette effi­ca­ci­té croît avec la dif­fé­rence de tem­pé­ra­ture, mais la rela­tion n’est pas une simple pro­por­tion­na­li­té (on sait aujourd’hui que η ≤ 1 – T_froid / T_chaud).

Cette série de résul­tats est d’autant plus spec­ta­cu­laire que le rai­son­ne­ment de Car­not s’appuie sur une théo­rie de la cha­leur erro­née, qui consi­dère que la cha­leur est por­tée par le calo­rique, un fluide sans masse et indes­truc­tible. Car­not ima­gine la machine à feu comme un mou­lin à eau : pour lui, un moteur pro­duit du tra­vail sous l’effet de la « chute du calo­rique », « tom­bant » du chaud vers le froid.

Dans cette image, la cha­leur est conser­vée (autant de cha­leur est éva­cuée vers la source froide que de cha­leur reçue de la source chaude) et le tra­vail s’y ajoute. En réa­li­té, sui­vant le pre­mier prin­cipe de la thermo­dynamique, c’est l’énergie totale qui est conser­vée. La quan­ti­té de cha­leur éva­cuée est infé­rieure à celle reçue, parce qu’une par­tie est conver­tie en travail.

Si fausse, et pourtant si juste

Le suc­cès des idées de Car­not n’est cepen­dant pas un hasard. Dans le cas par­ti­cu­lier de trans­for­ma­tions réver­sibles, son approche est en fait équi­va­lente à celle de la ther­mo­dy­na­mique moderne, à condi­tion de rem­pla­cer le calo­rique par la notion ana­chro­nique d’entropie. Sadi Car­not exprime dans ses Réflexions des doutes vis-à-vis de la théo­rie de la cha­leur qui sous-tend son tra­vail. Dans ses notes per­son­nelles, publiées long­temps après sa mort, il semble s’approcher de notre pre­mier principe :

« La cha­leur n’est autre chose que la puis­sance motrice, ou plu­tôt que le mou­ve­ment qui a chan­gé de forme. Réci­pro­que­ment, par­tout où il y a des­truc­tion de cha­leur, il y a pro­duc­tion de PM [puis­sance motrice]. »

Cepen­dant, il ne par­vient pas à lier ensemble ses deux idées maî­tresses (« Mais il serait alors dif­fi­cile de dire pour­quoi, dans le déve­lop­pe­ment de la PM par la cha­leur, un corps froid est néces­saire »). Il laisse ain­si à d’autres l’honneur d’établir le cadre offi­ciel de la thermodynamique.

La réception des Réflexions

Après sa publi­ca­tion, le mémoire de Car­not va res­ter dans l’ombre une dizaine d’années. Alors qu’ils ont été pré­sen­tés en séance à l’Académie des sciences par Girard dès 1824, ses tra­vaux semblent tota­le­ment igno­rés par ses contem­po­rains. Ara­go, secré­taire de l’Académie, publie entre 1829 et 1855 quatre édi­tions de sa Notice his­to­rique sur les machines à vapeur, sans jamais citer les Réflexions. Sadi lui-même semble se dés­in­té­res­ser du sujet – de 1824 à sa mort lors de l’épidémie de cho­lé­ra en 1832, il ne publie aucun autre texte scien­ti­fique. Il peut sem­bler étrange que le tra­vail de Sadi Car­not n’ait pas plus rapi­de­ment trou­vé son public scientifique.

Au-delà de la figure du génie incom­pris, l’historien Pie­tro Redon­di sou­ligne l’influence du saint-simo­nisme dans les milieux scien­ti­fiques. Il fait remar­quer que quelques ingé­nieurs et tech­ni­ciens se sont empa­rés des idées de Car­not – à l’inverse des savants, qui ne trouvent pas dans les écrits de Car­not la struc­tu­ra­tion posi­ti­viste qu’ils attendent. Cette obser­va­tion est en accord avec l’étrange affir­ma­tion qu’on trouve dans la notice nécro­lo­gique de l’AX en 1833 :

« Négli­geant presque entiè­re­ment le secours de l’analyse, il semble avoir pris à tâche de n’employer que les res­sources ordi­naires du rai­son­ne­ment ; et ses démons­tra­tions, dif­fi­ciles à suivre, ont peut-être rebu­té bien des lec­teurs habi­tués aux formes simples et élé­men­taires qu’a revê­tues la science moderne. »

« Il faut attendre 1834 pour trouver une première mention des Réflexions dans les travaux d’Émile Clapeyron (X1816). »

L’historien Robert Fox sou­ligne quant à lui l’ambivalence de Car­not vis-à-vis de son œuvre : com­ment pro­mou­voir son livre, quand il est de plus en plus convain­cu que la théo­rie de la cha­leur sur laquelle celui-ci est bâti est fausse ?

Il faut attendre 1834, deux ans après la mort de Sadi, pour trou­ver une pre­mière men­tion des Réflexions dans les tra­vaux d’Émile Cla­pey­ron (X1816). À sa suite, le jeune William Thom­son, futur Lord Kel­vin, qui est alors à Paris dans les labo­ra­toires de Regnault (X1830), met­tra véri­ta­ble­ment en lumière les tra­vaux de Car­not. Plus tard, Rudolf Clau­sius déve­lop­pe­ra une théo­rie géné­rale de la cha­leur dans laquelle il expli­ci­te­ra la place cen­trale du tra­vail de Car­not, en éta­blis­sant le concept d’entropie et ses propriétés.

Les héritages de Sadi Carnot

L’originalité de son approche, la force de ses résul­tats et la pro­fon­deur de la notion d’entropie qui émerge de son œuvre assurent à Sadi Car­not un héri­tage immense, bien au-delà de la phy­sique. Ces rami­fi­ca­tions ne peuvent guère se décli­ner en une page – mais, pour don­ner une idée, nous pro­po­se­rons seule­ment trois exemples inat­ten­dus, pré­sen­tés ci-après.

Théories axiomatiques

En 1909 Constan­tin Cara­théo­do­ry est pro­fes­seur de mathé­ma­tiques à l’université de Hanovre. Il est déjà recon­nu comme mathé­ma­ti­cien et ses tra­vaux à venir auront une grande influence. À la sur­prise des phy­si­ciens de l’époque, il éta­blit une théo­rie axio­ma­tique de la ther­mo­dy­na­mique sur la base du pre­mier et du deuxième prin­cipes. À la dif­fé­rence des pré­cé­dentes for­mu­la­tions du deuxième prin­cipe, Cara­théo­do­ry se passe des défi­ni­tions de Car­not à pro­pos de la cha­leur (il n’est pas fait men­tion de cycle, ni machine ther­mique, ni flux de chaleur).

La publi­ca­tion de Cara­théo­do­ry est un coup de ton­nerre dans la phy­sique théo­rique. En effet, il montre qu’une théo­rie phy­sique peut être construite de façon auto­nome et rigou­reuse sur une base axio­ma­tique, alors que l’approche tra­di­tion­nelle est plu­tôt de cher­cher à uni­fier les théo­ries dans le cadre d’une « théo­rie du grand tout ». À l’époque, seule la méca­nique du point maté­riel pou­vait pré­tendre à un fon­de­ment axiomatique.

Aujourd’hui, la phy­sique sta­tis­tique et la phy­sique quan­tique pos­sèdent une base axio­ma­tique, mais qui reste encore pro­blé­ma­tique. On note que la méca­nique des milieux conti­nus dis­si­pa­tifs (qui inclut la méca­nique des fluides) rejoin­dra le groupe res­treint des théo­ries axio­ma­tiques, sur le fon­de­ment de la ther­mo­dy­na­mique hors équi­libre dans les années 1960–1970, avec les tra­vaux de Cole­man, Noll et de Stü­ckel­berg. Il s’agit encore d’un héri­tage de Carnot.

Science de l’information

Dans le cadre de ses tra­vaux sur la théo­rie de l’information et du trai­te­ment du signal (à che­val entre sciences de l’ingénieur, des mathé­ma­tiques et de l’informatique), Claude Shan­non intro­duit en 1948 une expres­sion mathé­ma­tique qu’il nomme « entro­pie », sur la sug­ges­tion du phy­si­cien et mathé­ma­ti­cien John von Neu­mann. Cette expres­sion est iden­tique (à une constante mul­ti­pli­ca­tive près) à l’entropie sta­tis­tique intro­duite par Gibbs dans les années 1880.

Pour­quoi Shan­non et J. von Neu­mann ont-ils exfil­tré le terme for­gé par Clau­sius et issu des tra­vaux de Car­not ? L’anecdote est connue : J. von Neu­mann voit tout de suite que l’expression est équi­valente à l’entropie de Gibbs. Mais il dit aus­si à Shan­non que le concept est suf­fi­sam­ment mal com­pris en phy­sique pour qu’on ne puisse pas oppo­ser une cri­tique sérieuse à pro­pos d’un éven­tuel més­usage du terme pour une uti­li­sa­tion hors du champ de la phy­sique. En effet, la suite de l’histoire a démon­tré que non seule­ment cet éclai­rage nou­veau don­nait à ce concept une signi­fi­ca­tion beau­coup plus vaste et fer­tile que soup­çon­né ini­tia­le­ment, mais encore il a inté­gré les sciences de l’information dans le champ de la phy­sique et inversement.

La conjecture de Poincaré

Une petite anec­dote contem­po­raine pour finir. Une soixan­taine d’années après Sadi Car­not, un autre grand savant sort de l’École poly­tech­nique : Hen­ri Poin­ca­ré (X1873). Celui-ci énonce en 1906 une conjec­ture dif­fi­cile de topo­lo­gie algé­brique. Envi­ron un siècle plus tard, la conjec­ture de Poin­ca­ré est clas­sée par­mi les sept pro­blèmes mathé­ma­tiques du mil­lé­naire par l’institut Clay en 2000.

La conjec­ture est démon­trée magis­tra­le­ment par G. Per­el­man deux ans plus tard, dans une pre­mière publi­ca­tion inti­tu­lée The entro­py for­mu­la for the Ric­ci flow and its geo­me­tric appli­ca­tions. Ce tra­vail extra­or­di­naire devra à Per­el­man la médaille Fields (qu’il refu­se­ra, comme le prix Clay). Dans son tra­vail, Per­el­man uti­lise un « ana­logue sta­tis­tique » et le terme entro­pie du titre ren­voie bien à l’entropie ther­mo­dy­na­mique. Pour­quoi Per­el­man uti­lise-t-il le concept d’entropie thermo­dynamique ? La ques­tion éveille notre curio­si­té mais, comme l’écrit Poin­ca­ré lorsqu’il expose sa conjec­ture au détour d’un autre tra­vail : « Une dis­cus­sion à ce sujet nous entraî­ne­rait trop loin. »

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