Mathématiques financières, un outil à maîtriser

Une uti­li­sa­tion dérai­son­née des mathé­ma­tiques finan­cières, hors du cadre d’ap­pli­ca­tion des modèles, a incon­tes­ta­ble­ment joué un rôle dans la crise. La res­pon­sa­bi­li­té en incombe aux uti­li­sa­teurs et non à l’ou­til. Car les mathé­ma­tiques res­tent indis­pen­sables aus­si bien pour les opé­ra­teurs des mar­chés que pour les régulateurs.

REPÈRES
Depuis 1973 et la célèbre for­mule de Black et Scholes, les modèles mathé­ma­tiques ont été intro­duits dans le but de gérer et cou­vrir le risque. Ain­si, cette for­mule donne une stra­té­gie per­met­tant de cou­vrir par­fai­te­ment le risque d’un pro­duit déri­vé simple, sous les hypo­thèses du modèle de Black-Scholes. Depuis cette époque, des pro­duits plus com­pli­qués ont été intro­duits et, paral­lè­le­ment, des modèles plus réa­listes que celui de Black-Scholes ont été développés.

Nom­breux sont ceux ayant dési­gné l’u­ti­li­sa­tion des mathé­ma­tiques finan­cières res­pon­sable de la crise dite des sub­primes. En consé­quence, les for­ma­tions les plus pres­ti­gieuses en mathé­ma­tiques finan­cières (notam­ment celles de l’É­cole poly­tech­nique et du mas­ter de pro­ba­bi­li­tés et finance de l’É­cole poly­tech­nique et de l’u­ni­ver­si­té Paris-VI) ont été mon­trées du doigt : » On apprend aux étu­diants les plus brillants à faire des coups en Bourse » a‑t-on pu lire et entendre à maintes reprises. Il convient de pré­ci­ser les choses : la crise est-elle due à l’in­tro­duc­tion de modèles mathé­ma­tiques com­plexes dans le monde de la finance ? Non. Cer­tains uti­li­sa­teurs de ces modèles ont-ils une res­pon­sa­bi­li­té dans cette crise ? Oui.

Évi­dem­ment, en pra­tique, la déci­sion de se ser­vir d’un cer­tain modèle dans un contexte don­né relève de la res­pon­sa­bi­li­té de l’u­ti­li­sa­teur de ce modèle. Ain­si les modèles de mathé­ma­tiques finan­cières sont faits pour fonc­tion­ner dans un cadre stan­dard, lorsque leurs hypo­thèses théo­riques sont qua­si­ment véri­fiées. Les consé­quences (finan­cières) des écarts au modèle sont alors faibles. Une ana­lo­gie serait de dire qu’il est sen­sé d’u­ti­li­ser la méca­nique new­to­nienne stan­dard dans de nom­breux pro­blèmes, même s’il existe quelques frot­te­ments, mais que le même outil devient absurde dans un cadre relativiste.

Effets de la titrisation

Pas de gains sans risque
Les béné­fices indé­cents des banques obser­vés sur les mar­chés ces der­nières années auraient dû don­ner l’a­lerte : nous n’é­tions plus dans le cadre stan­dard de la modé­li­sa­tion où l’hy­po­thèse fon­da­men­tale est, rap­pe­lons-le, l’ab­sence d’op­por­tu­ni­té d’ar­bi­trage (c’est-à-dire l’im­pos­si­bi­li­té d’ob­te­nir des gains sans risque).

La crise finan­cière de 2007–2008 a été lar­ge­ment pro­vo­quée par la crois­sance déme­su­rée d’un mar­ché par­ti­cu­lier : celui des obli­ga­tions ados­sées à des actifs, plus connues sous le nom géné­rique anglais de Col­la­te­ra­li­zed Debt Obli­ga­tions (CDO). Les CDO ont été créées grâce à une méthode appe­lée titri­sa­tion, ou trans­for­ma­tion des créances en titres. L’ob­jec­tif de la titri­sa­tion est le trans­fert du risque de défaut des créan­ciers (typi­que­ment, les emprun­teurs immo­bi­liers) vers des inves­tis­seurs exté­rieurs. Pour titri­ser son por­te­feuille de créances, la banque crée une socié­té sépa­rée et lui vend ce por­te­feuille. La socié­té émet des obli­ga­tions, les CDO, qui sont ven­dues aux investisseurs.

Ces obli­ga­tions sont clas­sées en plu­sieurs caté­go­ries ou tranches, qui déter­minent l’ordre dans lequel les pertes du por­te­feuille de créances ini­tial les affectent. La tranche dite senior est la moins rému­né­rée. Elle repré­sente en géné­ral entre 80 % et 90 % du mon­tant total et est la der­nière à subir des pertes.

Les béné­fices indé­cents des banques auraient dû don­ner l’alerte

Elle est donc (au moins en théo­rie) beau­coup moins ris­quée que les créances du por­te­feuille ini­tial. En effet, elle ne sera pas affec­tée par les pertes du por­te­feuille tant que toutes les autres tranches n’ont pas été détruites. Par exemple, consi­dé­rons un por­te­feuille de prêts immo­bi­liers, cha­cun de même mon­tant. Si la tranche senior repré­sente 90 %, elle ne sera pas tou­chée avant que 10 % des emprun­teurs aient fait défaut, ce qui parais­sait qua­si­ment impossible.

Un risque sys­té­mique sous-évalué
Les CDO sont des pro­duits finan­ciers pou­vant être extrê­me­ment com­pli­qués. En tenant compte des réfé­rences à d’autres docu­ments, le nombre de pages de la notice de cer­tains de ces pro­duits dépasse le mil­lion ! C’est pour dire à quel point per­sonne ne pou­vait vrai­ment appré­hen­der la com­plexi­té de ces actifs. Dans ce contexte, les agences de nota­tion ont uti­li­sé des modèles sim­pli­fiés, basés sur les his­to­riques des taux de rem­bour­se­ment des emprunts. Pro­blème : ces modèles ont seule­ment pris en compte les non-rem­bour­se­ments des emprun­teurs indi­vi­duels dus à des cir­cons­tances par­ti­cu­lières. En revanche, le risque sys­té­mique, lié à un ren­ver­se­ment glo­bal du mar­ché immo­bi­lier, a été lar­ge­ment sous-esti­mé. Pour en tenir compte, il aurait fal­lu remon­ter jus­qu’aux années trente et la Grande Dépres­sion, ce que per­sonne n’a fait. Ain­si, si les tranches senior étaient bien pro­té­gées contre les risques indi­vi­duels, elles n’é­taient pas immu­ni­sées contre le risque systémique.

Des notations sans lien avec la réalité

On fabri­quait ain­si à par­tir des prêts sub­primes des obli­ga­tions sup­po­sées qua­si­ment sans risque !

Enfin, une note est attri­buée à chaque tranche par une agence de nota­tion (agence de rating). Les agences de nota­tion sont des éta­blis­se­ments indé­pen­dants qui estiment la qua­li­té de cré­dit des émet­teurs. Ain­si, leur note est cen­sée mesu­rer l’ex­po­si­tion au risque de défaut de la tranche. Avant 2007, les tranches senior de la plu­part des CDO rece­vaient la note la plus éle­vée AAA, qui cor­res­pond à un taux his­to­rique de défauts infé­rieur à 0,02 % par an. Cela a conduit à l’a­ber­ra­tion sui­vante : à par­tir d’un por­te­feuille des prêts de basse qua­li­té (sub­primes), on fabri­quait ain­si des obli­ga­tions dont 90 % étaient sup­po­sées qua­si­ment sans risque !

Concur­rence et déontologie
Les agences de rating sont payées pour leurs ser­vices par les banques dont elles éva­luent les pro­duits. Si elles avaient appli­qué une métho­do­lo­gie pru­dente, elles auraient ris­qué de voir leurs clients par­tir chez un concur­rent moins scrupuleux.

Cette dépen­dance au risque sys­té­mique s’est fait res­sen­tir sur le mar­ché à par­tir de 2007, lorsque les prix de l’im­mo­bi­lier aux États-Unis ont for­te­ment chu­té. Les nota­tions ont alors été revues à la baisse. Cette révi­sion s’est réper­cu­tée immé­dia­te­ment sur les prix des CDO, pro­vo­quant des pertes très impor­tantes pour les banques (qui uti­lisent depuis le début des années quatre-vingt-dix la comp­ta­bi­li­té à la valeur de mar­ché). Le mou­ve­ment de panique déclen­ché par ces pertes a alors qua­si­ment réduit à zéro la liqui­di­té du mar­ché des CDO. En effet, les prix de ces » actifs toxiques » étant constam­ment révi­sés à la baisse, il deve­nait presque impos­sible de s’en débarrasser.

Panurgisme et mélange des rôles

Pour résu­mer, en rai­son d’une sous-esti­ma­tion du risque sys­té­mique, les cou­pons des CDO sont deve­nus très attrac­tifs. À par­tir de là, des sommes d’argent impor­tantes ont com­men­cé à être gagnées sur les mar­chés et une bulle s’est alors for­mée. Pour­quoi cette bulle a‑t-elle per­du­ré ? Car du point de vue indi­vi­duel d’un acteur de mar­ché, dans ce contexte de gains faciles, il fau­drait être fou pour être le seul à vou­loir en sortir.

Maths et antibiotiques
Elyes Joui­ni, vice-pré­sident de Paris-Dau­phine, fait obser­ver dans un article publié par Le Monde le 15 décembre 2008 que » condam­ner les mathé­ma­tiques finan­cières revient à com­battre l’an­ti­bio­tique qui gué­rit mais génère aus­si de nou­velles souches plus résis­tantes. Il faut limi­ter l’u­sage des anti­bio­tiques, et non inter­dire la recherche de nou­velles molécules. »

Même si les outils mathé­ma­tiques étaient dis­po­nibles pour la bonne ges­tion des risques, la logique finan­cière l’a empor­té, et » on a fait comme tout le monde » pour ne pas perdre sa part du gâteau.

Les mathé­ma­tiques finan­cières ne sont donc pas res­pon­sables de la crise mais leur uti­li­sa­tion dérai­son­née, hors du cadre d’ap­pli­ca­bi­li­té des modèles, a eu des consé­quences graves. Faut-il donc désor­mais les condam­ner en tant » qu’ou­til pour spé­cu­la­teurs mal inten­tion­nés » alors qu’elles ont per­mis depuis qua­rante ans nombre d’a­van­cées majeures dans la ges­tion des risques financiers ?

Cer­tai­ne­ment pas. Au contraire, la crise a prou­vé que de nou­veaux efforts de recherche et d’en­sei­gne­ment sur des aspects fon­da­men­taux comme le risque sys­té­mique ou la liqui­di­té sont néces­saires. Elle a éga­le­ment mon­tré que les mathé­ma­tiques et les mathé­ma­ti­ciens sont indis­pen­sables, non seule­ment dans les salles de mar­chés des banques, mais aus­si et sur­tout dans les cel­lules de recherche des auto­ri­tés de tutelle des mar­chés finan­ciers. Ils aide­ront les régu­la­teurs à com­prendre l’é­vo­lu­tion constante des mar­chés finan­ciers et à repé­rer à temps les excès pou­vant conduire à des cata­clysmes économiques.

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