Analyse numérique et optimisation

Ce livre est issu d’un cours ensei­gné à l’École poly­tech­nique dont l’objectif, au-delà de la pré­sen­ta­tion de l’analyse numé­rique et de l’optimisation, est d’introduire les étu­diants au monde de la modé­li­sa­tion mathé­ma­tique et de la simu­la­tion numé­rique. La modé­li­sa­tion et la simu­la­tion ont pris une impor­tance consi­dé­rable ces der­nières décen­nies dans tous les domaines de la science et des appli­ca­tions indus­trielles (ou sciences de l’ingénieur).

En effet, depuis leur appa­ri­tion au len­de­main de la Seconde Guerre mon­diale les ordi­na­teurs ont pro­fon­dé­ment trans­for­mé les mathé­ma­tiques en en fai­sant une science expé­ri­men­tale : on fait des “ expé­riences numé­riques ” (des cal­culs sur ordi­na­teurs) comme d’autres font des exer­cices physiques.

L’analyse numé­rique est jus­te­ment la dis­ci­pline qui conçoit et ana­lyse les méthodes ou algo­rithmes de cal­cul. La simu­la­tion numé­rique per­met aux mathé­ma­ti­ciens de s’attaquer à des pro­blèmes beau­coup plus com­plexes et concrets qu’auparavant, issus de moti­va­tions immé­diates indus­trielles ou scien­ti­fiques, aux­quels on peut appor­ter des réponses à la fois qua­li­ta­tives mais aus­si quan­ti­ta­tives : c’est la modé­li­sa­tion mathématique.

Remar­quons qu’à côté des champs d’applications tra­di­tion­nels que sont la chi­mie, la méca­nique et la phy­sique se sont ouvertes de nou­velles pers­pec­tives en bio­lo­gie, envi­ron­ne­ment, finance, méde­cine et sciences sociales.

Par ailleurs, l’ingénieur ou le scien­ti­fique qui a réus­si à simu­ler numé­ri­que­ment son pro­blème ne s’arrête pas en si bon che­min : il veut ensuite pou­voir inter­ve­nir sur cer­tains para­mètres pour amé­lio­rer ou opti­mi­ser le fonc­tion­ne­ment, le ren­de­ment, ou la réponse d’un sys­tème en maxi­mi­sant (ou mini­mi­sant) des fonc­tions associées.

C’est pré­ci­sé­ment le but de l’optimisation qui four­nit des outils théo­riques ou numé­riques pour ce faire. L’analyse numé­rique et l’optimisation sont donc deux outils essen­tiels et com­plé­men­taires de la modé­li­sa­tion mathématique.

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