Covid-19 en 2021
Quelles mesures privilégier pour éviter d’être submergés en mars avril par l’arrivée d’une 3e vague due au variant « anglais » ?

Dossier : ExpressionsMagazine N°763 Mars 2021
Par François Xavier MARTIN (63)

Comparaison entre l’efficacité de différentes options

Théo­ri­que­ment, le rem­pla­ce­ment pro­gres­sif du virus « 2020 » par un variant « anglais » net­te­ment plus conta­gieux risque de pro­vo­quer l’arrivée d’une 3e vague capable de sub­mer­ger le sys­tème hos­pi­ta­lier. L’expérience de 2020 prouve qu’il est pos­sible de contre­car­rer une telle évo­lu­tion, mais quelles sont les mesures les plus effi­caces pour y arri­ver ? Accé­lé­ra­tion des vac­ci­na­tions ? Qua­ran­taines ? Couvre-feux ou confi­ne­ments, géné­raux ou localisés ?

À par­tir du modèle épi­dé­mio­lo­gique le plus simple, le SIR de Ker­mack et McKen­drick (1927) où une équa­tion inadap­tée aux évo­lu­tions for­te­ment dyna­miques a été cor­ri­gée (voir notre article de la J&R en ligne de février) il est pos­sible de recons­ti­tuer l’évolution de la Covid-19 depuis son arri­vée en France début 2020 et de répondre à cette ques­tion sans avoir de connais­sances par­ti­cu­lières en mathématiques.

Savoir uti­li­ser un tableur de type Excel suffit

Remarques importantes

L’article étu­die les effets oppo­sés de la vac­ci­na­tion et de l’apparition d’un variant « anglais » net­te­ment plus conta­gieux que le Covid-19 de 2020. Il com­pare l’efficacité d’actions per­met­tant de limi­ter le nombre maxi­mal d’infections (atten­du pour avril 2021) à un niveau com­pa­tible avec les capa­ci­tés du sys­tème hos­pi­ta­lier national.

Il ne pré­voit pas la sor­tie finale de crise, celle qui (espé­rons-le !) per­met­tra le retour à un mode de vie com­pa­rable à celui que nous avons connu jusqu’en février 2020. Mais atten­tion ! Actuel­le­ment un virus de coef­fi­cient R0 égal à 3 dans les condi­tions que nous connais­sions avant le début de l’épidémie est en train d’être rem­pla­cé par un variant pour lequel, dans les mêmes condi­tions, R= 4,5. Ceci fait pas­ser la popu­la­tion mini­male devant théo­ri­que­ment être immu­ni­sée (par vac­ci­na­tion, immu­ni­té acquise suite à une gué­ri­son ou éven­tuelle immu­ni­té innée) de 67% à 78% de la popu­la­tion totale pour voir com­men­cer le reflux spon­ta­né de l’épidémie (cal­cul approxi­ma­tif basé sur l’équation du SIR de 1927 non cor­ri­gée et ne tenant pas compte de l’hétérogénéité entre contaminateurs).

Les nombres de nou­velles infec­tions annon­cés quo­ti­dien­ne­ment par les pou­voirs publics cor­res­pondent aux seules infec­tions consta­tées par des tests. En 2021, le nombre réel d’infections (détec­tées ou non détec­tées, symp­to­ma­tiques ou asymp­to­ma­tiques) est vrai­sem­bla­ble­ment envi­ron deux fois plus impor­tant (au prin­temps 2020, ce rap­port était beau­coup plus éle­vé, compte tenu de la pénu­rie de tests).


Chiffres quotidiens début mars 2021

Nou­velles infec­tions : envi­ron 50 000 par jour dont 50 % consta­tées par des tests

Par rap­port au nombre total d’infections :

  • Admis­sions à l’hôpital : 2,5 % du nombre total d’infections
  • Admis­sions en réani­ma­tion, en moyenne 1 semaine après infec­tion : 0,4 %
  • Décès, en moyenne 2 semaines après infec­tion : 0,5 %

Docu­ment du 23 février trai­tant du même sujet : « A race bet­ween SARS-CoV‑2 variants and vac­ci­na­tion : the case of the B.1.1.7 variant in France » par Pao­lo Boset­ti, Cécile Tran Kiem, Ales­sio Andro­ni­co, Juliette Pai­reau, Daniel Levy Bruhl, et al.

https://hal.archives-ouvertes.fr/pasteur-03149525

A noter qu’à la dif­fé­rence de ce docu­ment, notre article n’inclut pas l’effet d’éventuelles mesure de relâ­che­ment de la dis­tan­cia­tion phy­sique de la popu­la­tion après le pic d’avril.

Covid-19 en 2021
Influences contraires de la vaccination et du variant « anglais »

Une cam­pagne de vac­ci­na­tion a com­men­cé début 2021, et un couvre-feu à par­tir de 18 heures est entré en vigueur à la mi-jan­vier. Ces mesures seront-elles suf­fi­santes pour évi­ter une 3ème vague due au rem­pla­ce­ment pro­gres­sif du virus « 2020 » par un variant « anglais » plus conta­gieux ? Que disent les courbes géné­rées par un tableur de type Excel appli­qué à un modèle SIR dont une des équa­tions a été rec­ti­fiée ? (voir https://www.lajauneetlarouge.com/covid-19-interrogations-sur-le-modele-epidemiologique-prise-en-compte-de-la-vaccination-et-du-variant-anglais/ )

Nouvelles infections quotidiennes incluant non détectées, asymptomatiques : virus "2020"

A com­pa­rer avec la courbe des décès consta­tés à l’hôpital qui est déca­lée d’une quin­zaine de jours par rap­port à la courbe des infec­tions (courbe bleue en 2020, puis courbe rouge en 2021 à par­tir de la mon­tée des infec­tions dues au variant « anglais »).

Décès Covid-19 à l'hôpital constatés par jour (moyenne mobile sur 7 jours)

Si aucune nou­velle mesure n’est prise, le main­tien des R0 des virus « 2020 » et « anglais » à leurs niveaux actuels (R0 « 2020 » = 1,05 et R0 « anglais » = 1,57) va conduire en mars-avril à une 3ème vague pré­sen­tant un nombre maxi­mum quo­ti­dien d’infections sen­si­ble­ment égal à celui des 2 vagues pré­cé­dentes, mais pen­dant une durée plus longue (car l’ascension de cha­cune des vagues pré­cé­dentes a été arrê­tée par un confinement).

Pour ten­ter de réduire l’impact de cette 3e vague, deux pos­si­bi­li­tés théo­riques dont nous allons com­pa­rer l’efficacité :

- aug­men­ta­tion très signi­fi­ca­tive du rythme des vac­ci­na­tions (pas­sant de 75 000 immunisations/jour à 150 000 immunisations/jour à par­tir du 15 mars)

- dimi­nu­tions modé­rées (2 hypo­thèses : – 5% et – 10%) des R0 du virus « 2020 » et de son variant « anglais » grâce à des mesures ayant une influence sur le com­por­te­ment de la popu­la­tion. D’après notre modèle la pro­por­tion de la popu­la­tion S sus­cep­tible d’être infec­tée (car ni vac­ci­née, ni immu­ni­sée suite à une gué­ri­son, et ne béné­fi­ciant pas d’une éven­tuelle immu­ni­té natu­relle) notée habi­tuel­le­ment S/N – N étant la popu­la­tion totale – est égale en début d’année 2021 à envi­ron 0,86.

Les Reffec­tif cor­res­pon­dants sont alors 1,05 x 0,86 = 0,9 pour le virus « 2020 » et 1,57 x 0,86 = 1,35 pour le virus anglais. En début d’année 2021, l’infection due au virus « 2020 » est donc en train de régres­ser, tan­dis que l’infection due au variant « anglais » va croître jus­qu’ à ce que S/N passe en-des­sous de 11,57 = 0,64.

Bien noter que pour l’instant la part la plus impor­tante de la dif­fé­rence entre S et N ne pro­vient pas encore des vac­ci­na­tions, dont l’effet n’a com­men­cé à se faire sen­tir que fin jan­vier 2021, mais de l’immunisation acquise suite à des infec­tions (aux­quelles s’ajoutent d’éventuelles immu­ni­tés naturelles).

Le point impor­tant est de déter­mi­ner l’évolution cumu­lée des deux types de virus dans dif­fé­rentes hypothèses.

Effet d’une accélération des vaccinations
Passage à 150 000 immunisations par jour à partir du 15 mars 2021
R0 « 2020 » stable à 1,05 à partir du 15/2/2021

Infections quotidiennes : virus "2020"

De toute évi­dence, une aug­men­ta­tion réa­liste du rythme de vac­ci­na­tion n’est pas en mesure de réduire à elle seule et de façon satis­fai­sante l’ampleur de cette 3e vague.

Néan­moins, la vac­ci­na­tion prio­ri­taire des plus fra­giles aura un effet béné­fique rapide sur les évo­lu­tions de la charge des hôpi­taux et de la léta­li­té moyenne.

Effet d’un durcissement des mesures modifiant le comportement de la population
Réduction de 5 % des R0 (« 2020 » et « anglais ») à partir du 1er mars

Infections quotidiennes : virus "2020" variant «anglais»

A court terme, cette dimi­nu­tion de 5% des R0 des deux types de virus a un effet plus impor­tant que le dou­ble­ment des immu­ni­sa­tions de 75 000 à 150 000 par jour au 15 mars.  

Effet d’un durcissement des mesures modifiant le comportement de la population
Réduction de 10 % des R0 (« 2020 » et « anglais ») à partir du 1er mars 

Effet accen­tué lorsqu’on passe à une dimi­nu­tion de 10% des R0 des deux types de virus.

Sensibilité des résultats à la contagiosité exacte du variant « anglais »

En fait, la conta­gio­si­té exacte du variant « anglais » est mal connue. Si on remonte à la source de l’information don­née par la plu­part des médias, c’est-à-dire la note de Nicho­las G. Davies (Centre for Mathe­ma­ti­cal Model­ling of Infec­tious Diseases, Lon­don School of Hygiene and Tro­pi­cal Medi­cine de Londres)

https://www.medrxiv.org/content/10.1101/2020.12.24.20248822v2

on y lit : « we esti­mate that VOC 20201201 is 43–82% more trans­mis­sible than pre‑existing variants of SARS-CoV‑2 »

En com­pa­rant la courbe des décès à l’hôpital don­née plus haut à celles four­nies par notre modèle (SIR rec­ti­fié) pour dif­fé­rentes valeurs de conta­gio­si­té, la meilleure esti­ma­tion semble être une aug­men­ta­tion de 50% par rap­port à celle du virus « 2020 ».

Les 3 dia­grammes qui suivent montrent com­bien l’évolution de l’épidémie est sen­sible à la valeur exacte de l’augmentation de conta­gio­si­té due au rem­pla­ce­ment du virus « 2020 » par son variant « anglais ».

Rappel de l’évolution avec un variant de contagiosité de + 50% par rapport au virus « 2020 »

Le pas­sage de 50% à 53% de la conta­gio­si­té addi­tion­nelle du variant « anglais » par rap­port au virus « 2020 » fait croître de près de 50% le nombre quo­ti­dien maxi­mum d’infections pré­vi­sibles en avril.

Le pas­sage de 50% à 47% de la conta­gio­si­té addi­tion­nelle du variant « anglais » par rap­port au virus « 2020 » réduit de près de 40% le nombre quo­ti­dien maxi­mum d’infections pré­vi­sibles en avril.

Conclusions
NOMBRE DE NOUVELLES INFECTIONS QUOTIDIENNES : PIC D’AVRIL 2021
(infections non détectées – dont asymptomatiques – comprises)

R0 « 2020 » à par­tir du 15/2/2021 

R0 variant « anglais » à par­tir du 15/2/2021 Vac­ci­na­tions : nombre d’immunisations par jour à par­tir du 20/1/2021 Nombre quo­ti­dien maxi­mum d’infections

1,05

1,05 x 1,5 = 1,57

75 000

115 000

1,05

1,05 x 1,5 = 1,57

75 000
Pas­sant à 150 000 au 15/3/21

105 000 

1

1,5 

75 000

81 000

0,95

0,95 x 1,5 = 1,42

75 000

70 000

1,05

1,05 x 1,47 = 1,54

75 000

67 000

1,05  1,05 x 1,53 = 1,61 75 000

170 000

Pour réduire l’amplitude pré­vi­sible de la vague de mars-avril, des mesures modi­fiant le com­por­te­ment de la popu­la­tion et des­ti­nées à faire bais­ser de 5 à 10% les R0 des 2 types de virus seront plus effi­caces qu’une forte aug­men­ta­tion du rythme des vac­ci­na­tions (telles qu’un dou­ble­ment du nombre quo­ti­dien des immu­ni­sés à par­tir du 15 mars).

A aus­si court terme, la contri­bu­tion d’un accrois­se­ment du rythme de vac­ci­na­tion à une modé­ra­tion de la vague atten­due en mars avril ne peut être que modeste. Néan­moins, la vac­ci­na­tion prio­ri­taire des plus fra­giles aura un effet béné­fique rapide sur les évo­lu­tions de la charge des hôpi­taux et de la léta­li­té moyenne.

A moyen terme cette vac­ci­na­tion joue­ra un rôle majeur dans la dimi­nu­tion pro­gres­sive de la popu­la­tion sus­cep­tible d’être conta­mi­née, donc de Reffec­tif (courbe violette).

Une extrême atten­tion devra être appor­tée à la connais­sance pré­cise du sup­plé­ment de conta­gio­si­té du variant « anglais » (ou d’autres variants !) par rap­port au virus « 2020 » : s’il dépasse 50%, un confi­ne­ment « dur » paraît inévitable.

3 Commentaires

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gpou­getrépondre
22 mars 2021 à 11 h 44 min

mer­ci de cet article for­ma­tif quoique un peu tech­nique . Quels sont les logi­ciels uti­li­sé pour pré­vi­sions / et com­ment dans une inter­view sur you tube le direc­teur de l’OMS à Geneve au début de la pan­dé­mie pou­vait il chif­frer les pertes à 30 mil­lions ? / pen­sez vous que nous aurons une qua­trieme vague mal­gré un bon taux de vac­ci­na­tion cet Automne ?

GPou­getrépondre
22 mars 2021 à 11 h 55 min

suite à com­men­taire cf ” the concept of Ro in epi­de­mio­lo­gy ” article dans jour­nal of the Royal Socie­ty .CQFD

Fran­çois Xavier MARTIN (auteur)répondre
22 mars 2021 à 16 h 20 min

Pour une popu­la­tion N consi­dé­rée comme homo­gène, il y a vague dès que Ro x S / N est supé­rieur à 1, S étant la popu­la­tion sus­cep­tible d’être infec­tée (donc n’ayant pas été vac­ci­née, n’é­tant pas immu­ni­sée suite à une infec­tion et ne béné­fi­ciant pas d’une éven­tuelle immu­ni­té naturelle).
Ro dépend du virus et des variables com­por­te­men­tales de la popu­la­tion. Avec les virus « 2020 » Ro = 3 dans les condi­tions de vie fran­çaises avant février 2020, envi­ron 1 avec les condi­tions actuelles (confi­ne­ment modé­ré, mesures-bar­rières). Avec le virus « anglais » on passe à Ro = 4,5 dans les condi­tions de vie fran­çaises avant février 2020 et envi­ron 1,5 avec les condi­tions actuelles. Début 2021 (avant début des vac­ci­na­tions), vrai­sem­bla­ble­ment entre 10% et 15% de la popu­la­tion était immu­ni­sée. Donc, avec le seul virus « 2020 », main­te­nir Ro un peu au-des­sus de 1 devait suf­fire à faire régres­ser l’é­pi­dé­mie, la vac­ci­na­tion per­met­tant ensuite de lais­ser remon­ter len­te­ment ce Ro jus­qu’à celui du « monde d’a­vant » (3).
Le variant « anglais » a déjoué ces cal­culs. Il est en train de rem­pla­cer tota­le­ment le virus « 2020 » et impose donc de faire pas­ser rapi­de­ment S/N en des­sous de 11,5 = 0,67 grâce aux effets com­bi­nés de la vac­ci­na­tion et d’un recon­fi­ne­ment. Une fois pas­sé le risque de 3ème vague en avril, le pro­blème sera de lais­ser remon­ter le So du variant anglais (ou d’un autre variant encore plus conta­gieux !) pour retrou­ver les condi­tions de vie de 2019 !
Enfin il faut bien voir qu’at­teindre l’im­mu­ni­té col­lec­tive ne signi­fie pas que l’é­pi­dé­mie est ter­mi­née : elle com­mence sim­ple­ment à régres­ser. Je vous donne les ordres de gran­deur : avec un Ro de 3 on atteint théo­ri­que­ment l’im­mu­ni­té col­lec­tive quand 67% de la popu­la­tion a été conta­mi­née ou vac­ci­née, mais pour la fin de l’é­pi­dé­mie il faut atteindre un taux de 94%, la for­mule per­met­tant le cal­cul théo­rique (facile par ité­ra­tion avec Excel) étant : Taux = 1 – exp( – Ro x Taux). Pour un Ro de 4,5 la qua­si-tota­li­té de la popu­la­tion aura été ou conta­mi­née ou vaccinée.
Au début de l’é­pi­dé­mie on esti­mait la léta­li­té à un peu plus de 0,5%. Sans vac­ci­na­tion ni aucune modi­fi­ca­tion du com­por­te­ment de la popu­la­tion mon­diale (donc Ro = 3), on pou­vait esti­mer que 94% de la popu­la­tion mon­diale serait infec­tée ce qui cor­res­pond bien à envi­ron 30 mil­lions de décès. Mais ceci ne tenait pas compte du fait que Ro = 3 cor­res­pond à un mode de vie occi­den­tal (fré­né­sie de contacts, de cir­cu­la­tion des indi­vi­dus …), des diverses mesures de confi­ne­ment, de qua­ran­taine, de port de masques, de l’âge moyen dans les dif­fé­rentes par­ties du monde … D’autre part, même en absence de consignes gou­ver­ne­men­tales, les popu­la­tions évitent spon­ta­né­ment les contacts avec les malades ! (voir mon article d’oc­tobre 2020).
Enfin les modèles. Au départ tous sont basés sur celui de 1927 (com­mu­ni­ca­tion de Ker­mack et McKen­drick à la Royal Socie­ty de Londres). Au départ ceux-ci ont écrit des équa­tions per­met­tant de tout rendre variable en fonc­tion du temps. En l’ab­sence d’or­di­na­teurs, ces équa­tions étaient inex­ploi­tables. Ils ont donc défi­ni un « spe­cial case » uti­li­sable qui conte­nait une option de sim­pli­fi­ca­tion mal­heu­reuse (pro­ba­bi­li­té de gué­ri­son uni­forme, ne dépen­dant pas du temps depuis lequel un indi­vi­du était conta­mi­né, alors que c’est la durée de la mala­die qui est assez uni­forme). Leurs suc­ces­seurs ont « oublié » la par­tie com­plexe de la com­mu­ni­ca­tion de 1927 et pris pour argent comp­tant (et pré­sen­té comme tel aux étu­diants en épi­dé­mio­lo­gie) le « spe­cial case » erro­né. Comme celui-ci don­nait des résul­tats incom­pa­tibles avec la réa­li­té (il est insuf­fi­sam­ment réac­tif aux varia­tions dans le temps du nombre d’in­fec­tés, à la hausse comme à la baisse) les mathé­ma­ti­ciens ne vou­lant pas don­ner l’im­pres­sion qu’ils tou­chaient aux sacro-saintes équa­tions de 1927 se sont lan­cés dans l’é­la­bo­ra­tion de modèles d’une grande com­plexi­té dont une par­tie ne ser­vait qu’à cor­ri­ger le carac­tère erro­né de ces équa­tions, action camou­flée car noyée dans d’autres déve­lop­pe­ments des­ti­nés à affi­ner le modèle. Le résul­tats est une flo­rai­son de modèles, cha­cun éta­bli avec des recettes mathé­ma­tiques « mai­son », géné­ra­le­ment mal docu­men­tés et dont les codes infor­ma­tiques ne sont pas ren­dus publics (voir en par­ti­cu­lier les jus­ti­fi­ca­tions don­nées par N. Fer­gu­son, consi­dé­ré comme le meilleur spé­cia­liste de ce domaine : « En mars, Fer­gu­son a admis que son modèle de la mala­die Covid-19 de l’Im­pe­rial Col­lege était basé sur un code infor­ma­tique vieux de 13 ans, non docu­men­té, des­ti­né à être uti­li­sé pour une pan­dé­mie de grippe redou­tée, plu­tôt que pour un coro­na­vi­rus. Fer­gu­son a refu­sé de divul­guer son code ori­gi­nal pour que d’autres scien­ti­fiques puissent véri­fier ses résul­tats. Il n’a publié une série de codes for­te­ment révi­sés que la semaine der­nière, après un délai de six semaines).
C’est la rai­son pour laquelle je pré­co­nise d’u­ti­li­ser, au moins de façon com­plé­men­taire, un modèle sim­pli­fié cor­ri­geant le « spe­cial case » de 1927 (ce qui est très facile, voir mes articles) et uti­li­sant Excel, afin que des non-mathé­ma­ti­ciens (en par­ti­cu­lier les énarques et les méde­cins qui co-gèrent actuel­le­ment les actions des pou­voirs publics) puissent mieux com­prendre l’é­vo­lu­tion de l’é­pi­dé­mie et deman­der éven­tuel­le­ment aux res­pon­sables des modèles ins­ti­tu­tion­nels des véri­fi­ca­tions ou les résul­tats d’hy­po­thèses différentes.

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