Hommage à Jean Morlet (X52), inventeur de la théorie des ondelettes

Jean Mor­let, décé­dé il y a quelques mois, était ingé­nieur de recherche chez Elf Aqui­taine. Après une expé­rience de vingt ans dans le sec­teur de la vibro­sis­mique, il décou­vrit la théo­rie des onde­lettes, nou­vel outil mathé­ma­tique qui peut être plus effi­cace que la trans­for­mée de Fou­rier, et qui est à la base du nou­vel algo­rithme de com­pres­sion d’i­mages JPEG2000.

Autre­fois, pour cher­cher du pétrole, on fai­sait explo­ser des charges, et les échos recueillis per­met­taient d’es­ti­mer la posi­tion, la pro­fon­deur et la forme de la cavi­té conte­nant l’or noir. Les experts enga­gés par les com­pa­gnies pétro­lières, les » sour­ciers « , étaient alors des phy­si­ciens. Ana­ly­ser les bruits réper­cu­tés par le sous-sol, c’é­tait imi­ter le savoir-faire du méde­cin qui, à l’aide du sté­tho­scope, aus­culte le malade en écou­tant sa res­pi­ra­tion ou les bat­te­ments de son coeur.

L’invention de la vibrosismique

Pierre Gou­pillaud, col­lègue et ami de Mor­let, était lui aus­si un ingé­nieur fran­çais, ancien élève de l’É­cole des mines. Il s’ex­pa­tria aux États-Unis et tra­vailla pour la com­pa­gnie pétro­lière Cono­co (aujourd’­hui Cono­co­Phil­lips), dans le sec­teur de la géo­phy­sique. Gou­pillaud sug­gé­ra d’en­voyer dans le sous-sol une vibra­tion, courte et modu­lée en fré­quence, au lieu de faire explo­ser des charges. L’éner­gie dépen­sée et les dégâts occa­sion­nés sont alors réduits. Ce même prin­cipe est uti­li­sé par le sonar de la chauve-sou­ris. La vibro­sis­mique était née. Mais les échos recueillis sont bien plus com­plexes à ana­ly­ser que dans le cas des explo­sions de charges. Les phy­si­ciens durent s’ef­fa­cer devant les spé­cia­listes du trai­te­ment du signal. Ces der­niers éla­bo­rèrent des logi­ciels infor­ma­tiques qui, en un sens, imitent le fonc­tion­ne­ment du cer­veau de la chauve-souris.

Des logi­ciels qui imitent le fonc­tion­ne­ment du cer­veau de la chauve-souris

Grâce à la vibro­sis­mique, Elf Aqui­taine a pu mener une cam­pagne pétro­lière à Paris même ! Les camions-vibra­teurs ont sillon­né les artères pari­siennes pen­dant une quin­zaine de jours, au milieu de nuits d’hi­ver de l’an­née 1986. L’ex­ploi­ta­tion des résul­tats a deman­dé une année entière : cela donne une idée des dif­fi­cul­tés ren­con­trées dans la vibrosismique.

Une nouvelle façon de représenter les signaux

Jean Mor­let ana­ly­sait donc ces signaux, courbes gra­phiques assez irré­gu­lières qui pré­sentent de fortes par­ties tran­si­toires. Mor­let étu­diait ces courbes à l’aide d’une tech­nique éprou­vée, l’a­na­lyse de Fou­rier à fenêtre. Las­sé des arte­facts, c’est-à-dire des erreurs sys­té­ma­tiques, dus à cette tech­nique, il mit en évi­dence une nou­velle façon de repré­sen­ter ce type de signaux, l’a­na­lyse par onde­lettes. Cette décou­verte lui per­mit de sur­mon­ter cer­taines dif­fi­cul­tés ren­con­trées dans l’a­na­lyse des signaux acquis lors des cam­pagnes pétro­lières. Nous savons aujourd’­hui que les onde­lettes consti­tuent la façon opti­male d’en­re­gis­trer ou d’a­na­ly­ser les signaux pré­sen­tant de très fortes par­ties tran­si­toires, chan­ge­ments bru­taux et inat­ten­dus qui inter­rompent des inter­valles où le signal se déroule de façon plus régu­lière. Au contraire, l’a­na­lyse de Fou­rier convient mieux à l’a­na­lyse des signaux sta­tion­naires, dont les pro­prié­tés sta­tis­tiques ne changent pas au cours du temps. Bien enten­du peu de signaux réels sont sta­tion­naires et, avant la décou­verte des onde­lettes, la trans­for­mée de Fou­rier était uti­li­sée de façon trop exten­sive. Mais cela ne signi­fie pas pour autant que les onde­lettes de Mor­let conviennent à tous les signaux qui ne sont pas sta­tion­naires. Le chan­tier ain­si ouvert par la décou­verte des onde­lettes est aujourd’­hui en pleine activité.

Une retraite anticipée

Les avions renifleurs
Com­ment Elf a‑t-elle pu croire aux « avions reni­fleurs » et, exac­te­ment à la même époque, ne pas accor­der la moindre confiance en Mor­let ? Rap­pe­lons qu’entre 1975 et 1979 un mal­fai­teur belge, Alain de Vil­le­gas, était arri­vé à per­sua­der les « têtes pen­santes » d’Elf que l’on pou­vait « flai­rer le pétrole » à l’aide des trop célèbres « avions reni­fleurs ». Embar­qué à bord d’un avion, un appa­reil miracle, construit par Alain de Vil­le­gas, devait loca­li­ser à coup sûr les gise­ments après un simple sur­vol. Pour trom­per les têtes pen­santes et les déci­deurs d’Elf, cet aigre­fin effec­tuait une expé­rience à terre où il pré­sen­tait, dans un cer­tain ordre, des objets dans une pièce. Ces objets étaient « reni­flés » par un mira­cu­leux « gad­get », situé dans une autre pièce. Ce gad­get recons­trui­sait, en temps réel, les images des objets sur un écran d’ordinateur. Les déci­deurs d’Elf étaient médu­sés. L’escroquerie fut révé­lée par Jules Horo­witz (41), émi­nent phy­si­cien au CEA, qui eut l’idée d’inverser l’ordre de pas­sage de deux des objets pré­sen­tés au « nez » du gad­get. Comme tout était pré­en­re­gis­tré, les images défi­lèrent évi­dem­ment dans l’ordre pré­cé­dent ! Mais c’était trop tard et l’argent d’Elf avait disparu.

Jean Mor­let, en 2001 lors de la remise du prix Ché­reau-Lavet de l’A­ca­dé­mie des technologies

Tout comme Benoît Man­del­brot (44), Mor­let avait une extra­or­di­naire intui­tion et une vision scien­ti­fique pro­phé­tique. Il a tout de suite com­pris la por­tée de sa décou­verte et a essayé d’a­ler­ter Elf. Comme le dit Pierre Gou­pillaud, Elf répon­dit en lui octroyant une retraite anti­ci­pée ! En fait, Mor­let fit par­tie d’une » char­rette » de seniors qui ont tous béné­fi­cié d’une mise à la retraite anti­ci­pée. Mor­let était déses­pé­ré, car il était congé­dié au moment même où son tra­vail de cher­cheur débou­chait sur une décou­verte révo­lu­tion­naire. Plus de dix ans après cette mise à la retraite, Mor­let obtint en 1997 le prix Regi­nald Fes­sen­den de la Socié­té amé­ri­caine de géo­phy­sique. Lors de la céré­mo­nie, Pierre Gou­pillaud pré­sen­ta l’oeuvre de Mor­let et lui ren­dit hom­mage comme suit : » Ancien élève de la célèbre École poly­tech­nique, Mor­let accom­plit la prouesse extra­or­di­naire de décou­vrir un nou­vel outil mathé­ma­tique qui ren­dit caduque la trans­for­mée de Fou­rier, cela après deux cents ans d’u­ti­li­sa­tion exces­sive, en par­ti­cu­lier dans sa ver­sion Fast Fou­rier Trans­form… Jus­qu’à aujourd’­hui la seule récom­pense que lui ont value sa per­sé­vé­rance et sa créa­ti­vi­té dans la mise au point de cet outil extra­or­di­naire fut une mise à la retraite anti­ci­pée d’Elf. »

Si c’était vrai, ça se saurait

Le Club des ondelettistes
Ce club se com­po­sait alors de Gross­mann (né en 1930, il fut cher­cheur à l’université d’Aix-Marseille II), de Mor­let et de quelques jeunes qui devien­dront célèbres : par­mi eux citons la mathé­ma­ti­cienne belge Ingrid Dau­be­chies (née en 1954), qui tra­vaillait avec Gross­mann, et est aujourd’hui pro­fes­seur à Princeton.

Paral­lè­le­ment donc, quand Mor­let pré­sen­ta ses tra­vaux à Elf, il lui fut répon­du : » Si c’é­tait vrai, ça se sau­rait. » On peut dire aujourd’­hui que les onde­lettes ont para­doxa­le­ment béné­fi­cié de cette sen­tence. Mor­let dut alors prendre contact avec la com­mu­nau­té scien­ti­fique pour pré­sen­ter et publier ses décou­vertes. Le phy­si­cien Roger Balian (52), qui était un des cama­rades de pro­mo­tion de Mor­let, l’o­rien­ta vers Alexan­der Gross­mann, direc­teur de recherches au CNRS, qui tra­vaillait à Mar­seille-Lumi­ny au Centre de phy­sique théo­rique. Gross­mann fut patient, sub­til et com­prit ce que Mor­let avait en tête. Écou­ter Mor­let n’é­tait cer­tai­ne­ment pas une tâche aisée, tant ses idées étaient ori­gi­nales, allu­sives, approxi­ma­tives et sou­vent exa­gé­ré­ment opti­mistes. Mais dis­cu­ter avec lui était, en fait, très agréable, tant il était doux, sen­sible, cour­tois et tant ses vues étaient péné­trantes. Mor­let pen­sait que l’a­na­lyse par onde­lettes allait immé­dia­te­ment révo­lu­tion­ner la vibro­sis­mique et la pros­pec­tion pétro­lière. C’est autre chose qui s’est pro­duit : les onde­lettes ont ser­vi à com­pri­mer et à trans­mettre les don­nées recueillies dans les cam­pagnes pétro­lières. Grâce à la clair­voyance de Gross­mann, les résul­tats de Mor­let ont pu être publiés en 1984 dans une revue scien­ti­fique ayant une dif­fu­sion inter­na­tio­nale. Jean Las­coux, direc­teur du centre de phy­sique mathé­ma­tique de l’É­cole poly­tech­nique me mon­tra, à l’au­tomne 1984, ce pre­mier texte sur les onde­lettes. La pho­to­co­pieuse que mathé­ma­ti­ciens et phy­si­ciens par­ta­geaient étant située dans une petite pièce, j’at­ten­dais que Las­coux ter­mi­nât ses pho­to­co­pies en dis­cu­tant avec lui : c’est suite à ces conver­sa­tions autour de la pho­to­co­pieuse que débu­tèrent mes recherches sur les onde­lettes. Je pris le train pour Mar­seille et rejoi­gnis ain­si le » Club des ondelettistes « .

Le théorème de Calderon

En arri­vant à Mar­seille, je com­pris que Gross­mann et Mor­let avaient redé­cou­vert un théo­rème qu’un mathé­ma­ti­cien argen­tin, tra­vaillant à l’u­ni­ver­si­té de Chi­ca­go, Alber­to Cal­de­ron (1920−1998), avait éta­bli vingt ans aupa­ra­vant. Iro­ni­que­ment cela jus­ti­fie la réponse dédai­gneuse reçue par Mor­let : » Si c’é­tait vrai, ça se sau­rait « … La preuve qu’en don­naient Gross­mann et Mor­let en limi­tait l’ap­pli­ca­tion aux signaux en excluant les images. Mais ce que Cal­de­ron ne pen­sait pas – et il ne l’a jamais cru – est que son résul­tat puisse jouer un rôle impor­tant dans le trai­te­ment du signal. Cela est d’au­tant plus sur­pre­nant que Cal­de­ron avait au départ une for­ma­tion d’in­gé­nieur. Mor­let relia le théo­rème de Cal­de­ron (qu’il ne connais­sait pas) au trai­te­ment du signal : c’est la décou­verte de cette connexion qui est révolutionnaire.

Com­pri­mer pour transmettre
Aujourd’­hui le Web, la toile, enva­hit notre vie et modi­fie même l’é­co­no­mie. Mais il faut trans­mettre les images sur le réseau, en uti­li­sant les capa­ci­tés limi­tées des lignes télé­pho­niques. Trans­mettre une image de 9 méga­pixels néces­site autant de bits que trans­mettre mille pages de texte. C’est cepen­dant pos­sible, car l’in­for­ma­tion conte­nue dans une image est très redon­dante : les algo­rithmes de com­pres­sion exploitent cette redon­dance. Le plus célèbre de ces algo­rithmes est JPEG (Joint Pho­to­gra­phic Expert Group). Il uti­lise la trans­for­ma­tion de Fou­rier pour com­pri­mer ; l’i­mage numé­rique est divi­sée en car­rés 8 x 8 et l’on applique à chaque car­ré une trans­for­mée de Fou­rier rapide. On obtient 64 coef­fi­cients de Fou­rier pour chaque bloc : la plu­part sont nuls, ce qui induit une compression.
L’u­ti­li­sa­tion de JPEG avec des fac­teurs de com­pres­sion dépas­sant 10 fait cepen­dant appa­raître des pro­blèmes de blocs. Le for­mat JPEG2000 uti­lise, lui, l’a­na­lyse par onde­lettes, sans décou­page préa­lable de l’i­mage : il n’y a plus d’ef­fets de blocs

La victoire des ondelettes

Les enjeux scien­ti­fiques et indus­triels de la com­pres­sion des images fixes sont énormes.Comme Jacques Bla­mont le rap­pe­lait à l’A­ca­dé­mie des sciences (séance du 25 sep­tembre 2000), l’ex­plo­ra­tion de l’es­pace passe par la com­pres­sion des images, celles-ci, très volu­mi­neuses, devant être trans­mises tout en rédui­sant au maxi­mum la charge embar­quée dans le satel­lite. Il faut donc com­pri­mer les images pour les trans­mettre et c’est là que les onde­lettes sont uti­li­sées. Un long che­min res­tait à par­cou­rir et c’est grâce aux tra­vaux d’In­grid Dau­be­chies et de Sté­phane Mal­lat (81) que JPEG2000, basé sur l’a­na­lyse par onde­lettes, a pu s’im­po­ser face à JPEG. Cette vic­toire avait été entre­vue par Jean Mor­let. Mais les appli­ca­tions de l’a­na­lyse par onde­lettes dépassent lar­ge­ment le sujet de la com­pres­sion : pour ne citer qu’un exemple, c’est en uti­li­sant l’a­na­lyse par onde­lettes que Jean-Luc Starck (astro­phy­si­cien au CEA) et ses col­la­bo­ra­teurs ont réus­si à éva­luer la masse de matière noire conte­nue dans l’U­ni­vers. Jean Mor­let nous a quit­tés en avril 2007 : c’é­tait un vision­naire et son oeuvre défie­ra le temps. Ndlr : divers hom­mages avaient été ren­dus à Jean Mor­let, de son vivant en 2005 dans la Gazette de la Socié­té mathé­ma­tique de France et dans la Lettre de l’A­ca­dé­mie des sciences, ain­si qu’au col­loque de l’Orme du CEA en octobre 2007. Nous remer­cions Alexandre Moat­ti (X78, membre du comi­té édi­to­rial de La Jaune et la Rouge), pour l’i­dée du pré­sent article.

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