Mathématiques, technologie, Delano Durand : itinéraire d’une involution

Si l’on désigne par tech­no­lo­gie l’ensemble des tech­niques que les sciences mathé­ma­tiques de la nature ont per­mis d’imaginer et de déve­lop­per, la tech­no­lo­gie est, par essence, dépen­dante des mathé­ma­tiques. En sens inverse, les per­for­mances tech­no­lo­giques ne cessent de confir­mer que les mathé­ma­tiques, aus­si éso­té­riques puissent-elles deve­nir, captent quelque chose de la véri­té du monde. Mal­gré ces liens réci­proques, une oppo­si­tion d’esprit existe : quand la tech­no­lo­gie per­met de dis­po­ser du monde, les véri­tés mathé­ma­tiques sont par excel­lence ce dont on ne dis­pose pas.

Le mot tech­no­lo­gie, qui a d’abord dési­gné en fran­çais un réper­toire de termes tech­niques propres à un cer­tain domaine, ou une science des tech­niques, a eu ten­dance au cours des der­nières décen­nies à deve­nir un syno­nyme de tech­nique. Plu­tôt que de dénon­cer cet emploi comme angli­cisme, il serait pré­fé­rable de mettre à pro­fit le dou­blet tech­nique-tech­no­lo­gie afin d’opérer une dis­tinc­tion entre deux types de tech­niques. D’une part, les tech­niques au sens de savoir-faire éla­bo­rés dans la confron­ta­tion directe avec la matière et trans­mis de géné­ra­tion en géné­ra­tion ; d’autre part les tech­no­lo­gies, dési­gnant des dis­po­si­tifs dont la concep­tion et la fabri­ca­tion seraient inima­gi­nables sans le logos scien­ti­fique moderne, sans les sciences mathé­ma­tiques de la nature. La tech­nique est vieille comme l’humanité, la tech­no­lo­gie prend son véri­table essor en Europe au XIX^e siècle.

Les liens entre technologie et mathématiques

Ain­si défi­nie, la tech­no­lo­gie est par essence dépen­dante des mathé­ma­tiques. Cepen­dant, les liens entre les deux ins­tances ne sont pas uni­voques : les mathé­ma­tiques dépendent aus­si, à cer­tains égards, de la tech­no­lo­gie. On sait à quel point les sciences mathé­ma­tiques de la nature n’ont ces­sé, depuis le XVII^e siècle, de sti­mu­ler la réflexion et les inves­ti­ga­tions dans de nom­breux domaines des mathé­ma­tiques. Les sciences mathé­ma­tiques de la nature étant elles-mêmes sti­mu­lées, de façon récur­rente, par des ques­tions tech­no­lo­giques, la dyna­mique tech­no­lo­gique n’est pas sans effet sur le déve­lop­pe­ment des mathé­ma­tiques. C’est cepen­dant sur deux autres points, moins évi­dents, que nous sou­hai­te­rions atti­rer l’attention.

La « crise des fondements »

À par­tir du XIX^e siècle appa­rurent et se mul­ti­plièrent, en mathé­ma­tiques, notions et objets si éloi­gnés des intui­tions com­munes, voire les contre­di­sant, qu’une ques­tion nou­velle émer­gea : quel fon­de­ment don­ner aux mathé­ma­tiques ? Georg Can­tor par exemple, ayant démon­tré que l’on pou­vait éta­blir une cor­res­pon­dance terme à terme entre les points d’un car­ré et les points d’un de ses côtés, écri­vait à son col­lègue Richard Dede­kind : « Je le vois, mais je ne le crois pas » (en fran­çais dans le texte). Autre­ment dit : quel cré­dit accor­der à un rai­son­ne­ment mathé­ma­tique quand son résul­tat vient démen­tir ce qui, à Can­tor, conti­nuait de paraître évident – à savoir qu’il y a « trop » de points dans une sur­face pour une cor­res­pon­dance terme à terme avec les points d’un segment ?

La solution axiomatique

Les ten­ta­tives pour retrou­ver un sol ferme condui­sirent aux théo­ries axio­ma­tiques, qui pré­sentent les mathé­ma­tiques comme un sys­tème fon­dé sur un ensemble res­treint d’axiomes, à par­tir des­quels toutes les pro­po­si­tions doivent être déduites, selon des règles d’inférence elles-mêmes spé­ci­fiées par les axiomes. Deux points sont ici à sou­li­gner. Pre­miè­re­ment, quoique dans une théo­rie axio­ma­tique les résul­tats soient déduits des axiomes, dans la pra­tique les axiomes ont été choi­sis de manière à ce qu’il soit pos­sible de recons­truire, à par­tir d’eux, les mathé­ma­tiques déjà consti­tuées. Deuxiè­me­ment, quoique dans une théo­rie axio­ma­tique les règles de déduc­tion se pré­sentent sous un aspect pure­ment for­mel, ce qui se trouve for­ma­li­sé est en accord avec des prin­cipes logiques élé­men­taires, de sorte que les mathé­ma­ti­ciens n’ont en géné­ral aucun lieu de se sou­cier, dans leurs tra­vaux, de la confor­mi­té de leurs argu­ments à ce qu’autorisent et pres­crivent les axiomes.

Gödel et Bourbaki…

Pour ras­su­rante qu’elle soit, la refon­da­tion axio­ma­tique des mathé­ma­tiques ne donne pas toutes les garan­ties, dans la mesure où, comme l’a éta­bli Gödel, la cohé­rence d’une théo­rie for­melle incluant l’arithmétique n’est pas démon­trable à l’intérieur de ladite théo­rie. C’est-à-dire qu’il est impos­sible d’être apo­dic­ti­que­ment sûr que les axiomes ne per­mettent pas de démon­trer à la fois une pro­po­si­tion et sa néga­tion. À défaut demeure la confiance qu’il est rai­son­nable d’accorder à une théo­rie où, à l’usage, aucune contra­dic­tion n’a été déce­lée – au point que, selon le mot du logi­cien Georg Krei­sel, les doutes quant à la cohé­rence deviennent plus dou­teux que la cohé­rence elle-même.

Il y a de cela un demi-siècle, le col­lec­tif Bour­ba­ki écri­vait dans son intro­duc­tion à la théo­rie des ensembles : « Depuis cin­quante ans qu’on a for­mu­lé avec assez de pré­ci­sion les axiomes de la théo­rie des ensembles et qu’on s’est appli­qué à en tirer des consé­quences dans les domaines les plus variés des mathé­ma­tiques, on n’a jamais ren­con­tré de contra­dic­tion, et on est fon­dé à espé­rer qu’il ne s’en pro­dui­ra jamais. S’il en était autre­ment, c’est que la contra­dic­tion obser­vée serait inhé­rente aux prin­cipes mêmes qu’on a mis à la base de cette théo­rie ; ceux-ci seraient donc à modi­fier, sans com­pro­mettre si pos­sible les par­ties de la mathé­ma­tique aux­quelles on tient le plus. »

… et Wittgenstein

Comme on voit, ce ne sont pas les axiomes qui com­mandent les mathé­ma­tiques, ce sont les mathé­ma­tiques qui com­mandent le choix des axiomes. Des axiomes dont, par ailleurs, l’immense majo­ri­té des mathé­ma­ti­ciens ne se sou­cient jamais, suf­fi­sam­ment per­sua­dés qu’ils sont de la consis­tance du champ qui est le leur et de la vali­di­té des rai­son­ne­ments qu’ils y déploient. Witt­gen­stein remar­quait : « Si une contra­dic­tion était vrai­ment trou­vée au sein de l’arithmétique, cela prou­ve­rait seule­ment qu’une arith­mé­tique conte­nant une telle contra­dic­tion peut rendre d’excellents ser­vices ; et il vau­dra mieux pour nous modi­fier ce que nous récla­mons en guise de cer­ti­tude, que de consi­dé­rer que ce n’était pas encore vrai­ment une bonne arithmétique. »

Il n’est certes pas mau­vais de dis­po­ser, quelque part, d’axiomes aux­quels on pour­rait le cas échéant ren­voyer un pinailleur qui met­trait en cause le bien-fon­dé de l’édifice ; quant à s’y réfé­rer effec­ti­ve­ment, cela paraî­trait aus­si pénible qu’inutile. Mais alors, d’où vient l’assurance des mathé­ma­ti­ciens, quand ils traitent de notions et d’objets qui outre­passent ce que le sens com­mun est à même de conce­voir ? De la confiance en leurs démarches de pen­sée, certes, mais aus­si de la per­ma­nente confir­ma­tion de per­ti­nence qu’apportent, à leur dis­ci­pline, les suc­cès des sciences mathé­ma­tiques de la nature et les per­for­mances technologiques.

La technologie comme garant

Consi­dé­rons la phy­sique quan­tique. Avec son avè­ne­ment, « l’image de l’univers selon les sciences de la nature cesse d’être, à pro­pre­ment par­ler, l’image de l’univers selon les sciences de la nature », écri­vait Hei­sen­berg. De fait, il n’y a plus d’image ! Plus exac­te­ment, quelle que soit l’image de la nature for­mée à par­tir de notre expé­rience sen­sible, cette image, confron­tée aux réa­li­tés quan­tiques, se révèle fausse. « Peut-être pas tout à fait aus­si dénuée de sens qu’un “cercle tri­an­gu­laire”, mais beau­coup plus qu’un “lion ailé” », disait Schrödinger.

C’est ain­si : seules les mathé­ma­tiques font « tenir » l’édifice quan­tique (ce pour­quoi la phy­sique quan­tique se révèle, par essence, aus­si « invul­ga­ri­sable » que le sont les mathé­ma­tiques). Qu’est-ce qui assure que cet édi­fice n’est pas une fan­tas­ma­go­rie ? Des expé­riences de labo­ra­toire, sans doute. Mais, de ces expé­riences, seuls des spé­cia­listes ont connais­sance. En revanche, tout un cha­cun fait aujourd’hui quo­ti­dien­ne­ment l’expérience du carac­tère non fan­tas­ma­go­rique de la théo­rie, en usant de dis­po­si­tifs et d’appareils qu’il aurait été impos­sible de conce­voir et d’élaborer sans elle.

La tech­no­lo­gie vient donc, en per­ma­nence, confir­mer que les mathé­ma­tiques, dont on aurait pu craindre qu’en s’éloignant des intui­tions com­munes elles devinssent un vain jeu de l’esprit, pénètrent au contraire quelque chose du mys­tère du monde. Ce qu’on a appe­lé, pour les mathé­ma­tiques, la « crise des fon­de­ments », n’a pas reçu de réponse plei­ne­ment satis­fai­sante. Cela étant, la tech­no­lo­gie en rela­ti­vise sin­gu­liè­re­ment l’importance.

Du sensible à l’intelligible, et retour

Le rôle de la tech­no­lo­gie vis-à-vis des mathé­ma­tiques ne s’arrête pas là. Elle touche aus­si à leur sta­tut. Dans un cadre pytha­go­ri­co-pla­to­ni­cien, les mathé­ma­tiques jouis­saient d’un grand pres­tige, en tant qu’elles appre­naient à l’âme à se déta­cher du sen­sible pour se tour­ner vers l’intelligible. « On cultive [la géo­mé­trie] pour connaître ce qui est tou­jours, et non ce qui, à un moment don­né, naît et périt. […] Elle est donc propre à tirer l’âme vers la véri­té et à faire naître l’esprit phi­lo­so­phique, qui élève nos regards vers les choses d’en haut, au lieu de les tour­ner, comme nous fai­sons, vers les choses d’ici-bas », dit le Socrate de Platon.

“Nos sociétés initient la jeunesse aux mathématiques non par souci spirituel, mais parce que celles-ci irriguent la science et la technologie.”

Dans un cadre moderne, les ver­tus des mathéma­tiques sont plu­tôt « des­cen­dantes » : à par­tir du moment où l’univers est cen­sé être écrit en carac­tères mathé­ma­tiques (Gali­lée) ou que les mathé­ma­tiques sont la forme que doit prendre une connais­sance du monde pro­cé­dant d’idées claires et dis­tinctes (Des­cartes), les mathé­ma­tiques se pré­sentent comme ce qui doit per­mettre à l’intellect de se sai­sir du sen­sible. Pour com­prendre son ordon­nan­ce­ment, par la science, mais aus­si pour le trans­for­mer, par la tech­no­lo­gie. Bien enten­du, il est tou­jours pos­sible de culti­ver les mathé­ma­tiques pour elles-mêmes. Reste que, pour se consa­crer aux mathé­ma­tiques, il faut y avoir été ini­tié, et que nos socié­tés ini­tient la jeu­nesse aux mathé­ma­tiques non par sou­ci spi­ri­tuel, mais parce que celles-ci, outre que leur pra­tique, qui contri­bue à ordon­ner la pen­sée et déve­loppe l’aptitude au rai­son­ne­ment, irriguent la science et la tech­no­lo­gie. 

Double jeu

Simone Weil a assis­té à quelques-unes des pre­mières réunions de tra­vail du groupe Bour­ba­ki, dont son frère André était membre fon­da­teur. D’évidence, ces mathé­ma­ti­ciens ne se pré­oc­cu­paient nul­le­ment de ce qu’on appelle les appli­ca­tions. Pour autant, il ne sem­blait pas à Simone Weil que l’énergie qu’elle leur voyait déployer au ser­vice de la mathé­ma­tique la plus pure eût été la même dans un monde où les mathé­ma­tiques n’auraient exis­té que pour elles-mêmes. Elle avait l’impression que tout en s’enorgueillissant de leur indif­fé­rence aux inci­dences pra­tiques, ils pro­fi­taient quand même du pres­tige que la puis­sance tech­no­lo­gique confère aux mathématiques. 

D’où ce constat : « Ils jouissent ain­si de deux avan­tages en réa­li­té incom­pa­tibles, mais com­pa­tibles dans l’illusion ; ce qui est tou­jours une situa­tion extrê­me­ment agréable. […] Ils ne se rendent pas compte que dans la concep­tion actuelle de la science, si l’on retranche les appli­ca­tions tech­niques, il ne reste plus rien qui soit sus­cep­tible d’être regar­dé comme un bien. […] Sans la tech­nique, per­sonne aujourd’hui dans le public ne s’intéresserait à la science ; et, si le public ne s’intéressait pas à la science, ceux qui suivent une car­rière scien­ti­fique en auraient choi­si une autre. Ils n’ont pas le droit à l’attitude de déta­che­ment qu’ils assument. Mais quoiqu’elle ne soit pas légi­time, elle est un stimulant. »

Efficience et vérité éternelle

Résu­mons : la tech­no­lo­gie n’existerait pas sans les mathé­ma­tiques dont, en retour, elle confirme la consis­tance et aux­quelles elle confère l’intérêt et le pres­tige atta­chés à la puis­sance. Les choses, cepen­dant, ne s’arrêtent pas là. Les mathé­ma­tiques en effet, tout en ali­men­tant la tech­no­lo­gie, mettent des bornes à la men­ta­li­té tech­no­lo­gique. Les tech­niques, note Jean-Fran­çois Lyo­tard, « obéissent à un prin­cipe, celui de l’optimisation des per­for­mances : aug­men­ta­tion de l’output (infor­ma­tions ou modi­fi­ca­tions obte­nues), dimi­nu­tion de l’input (éner­gie dépen­sée) pour les obte­nir. Ce sont donc des jeux dont la per­ti­nence n’est ni le vrai, ni le juste, ni le beau, etc., mais l’efficient : un “coup” tech­nique est “bon” quand il fait mieux et/ou quand il dépense moins qu’un autre. » À ce prag­ma­tisme inté­gral, la mathé­ma­tique oppose ses véri­tés éter­nelles. À la men­ta­li­té tech­no­lo­gique, qui entend mettre le monde à notre dis­po­si­tion, elle oppose la résis­tance infi­nie de son logos.

Le monde selon Delano Durand

Peut-être, au demeu­rant, est-ce en rai­son du démen­ti radi­cal que les mathé­ma­tiques apportent à la toute-puis­sance de la volon­té qu’elles ont de plus en plus de mal à être cor­rec­te­ment ensei­gnées, à des indi­vi­dus de plus en plus immer­gés dans ce que Chris­to­pher Lasch a appe­lé la culture du nar­cis­sisme. Avec cette consé­quence : l’illusion de toute-puis­sance indi­vi­duelle, flat­tée par la tech­no­lo­gie – le bou­ton que l’on pousse, l’écran que l’on caresse, le joys­tick que l’on manie – rend de moins en moins sup­por­table la dis­ci­pline de l’esprit impo­sée par les mathé­ma­tiques, sans les­quelles pour­tant la tech­no­lo­gie est inconcevable.

« L’illusion de toute-puissance individuelle, flattée par la technologie rend de moins en moins supportable la discipline de l’esprit imposée par les mathématiques, sans lesquelles pourtant la technologie est inconcevable. »

Pareille invo­lu­tion est l’une des brèches par laquelle l’eau s’engouffre dans la coque mal en point de l’Occident. Voie d’eau bien repé­rée par Houel­le­becq dans son roman Anéan­tir, où l’on voit la DGSI faire appel, dans son enquête sur trois atten­tats mys­té­rieux, à un cer­tain Dela­no Durand, ancien hacker qui, en tant que digi­tal native, est cen­sé éclai­rer ses col­lègues plus âgés.

La pre­mière chose que relève Durand, c’est que les trois points de la carte où les atten­tats ont eu lieu peuvent être reliés par un cercle. Un com­mis­saire, la cin­quan­taine, s’étonne : « Ce n’est pas tou­jours le cas ? » Durand regarde son inter­lo­cu­teur avec com­mi­sé­ra­tion. « Non, natu­rel­le­ment non, dit-il fina­le­ment. Par deux points quel­conques, on peut tou­jours faire pas­ser un cercle ; mais ce n’est en géné­ral pas le cas des ensembles de trois points : une petite mino­ri­té seule­ment peuvent figu­rer sur la cir­con­fé­rence d’un même cercle, doté d’un centre défini. »

Il serait inté­res­sant de connaître la pro­por­tion de lec­teurs que cette asser­tion a fait sur­sau­ter. Car s’il y a quelqu’un qui devrait être consi­dé­ré avec com­mi­sé­ra­tion, c’est bien ce Durand : par trois points dis­tincts du plan passe tou­jours un cercle, excep­té dans le cas très par­ti­cu­lier où les trois points sont ali­gnés. (Et par trois points dis­tincts de la sur­face ter­restre, assi­mi­lée à une sphère, passe tou­jours un cercle, inter­sec­tion du plan défi­ni par les trois points et de la sphère). Cette pro­prié­té élé­men­taire, le com­mis­saire l’avait plus ou moins en mémoire. Mais, impres­sion­né qu’il est par l’assurance du jeune Durand, le digi­tal immi­grant bat en retraite. Pour­tant, avec une mul­ti­tude d’ignares pré­ten­tieux à la Dela­no Durand pour l’entretenir, une civi­li­sa­tion tech­no­lo­gique ne peut que se déglin­guer, aller vers son anéan­tis­se­ment. 

Références

• N. Bour­ba­ki, Théo­rie des ensembles, Paris, Her­mann, 1970, Intro­duc­tion E I.13.
• Lud­wig Witt­gen­stein, Remarks on the Foun­da­tions of Mathe­ma­tics, G.H. von Wright, R. Rhees, G.E.M. Ans­combe (éd.). Oxford, Basil Bla­ck­well, 1964.
• Wer­ner Hei­sen­berg, La Nature dans la phy­sique contem­po­raine [1955], trad. Ugné Kar­ve­lis et A.E. Leroy, Paris, Gal­li­mard, coll. « Idées », 1962.
• Erwin Schrö­din­ger, Science et huma­nisme. La phy­sique de notre temps [1951], trad. Jean Ladrière, dans Phy­sique quan­tique et repré­sen­ta­tion du monde, Paris, Le Seuil, coll. « Points sciences ».
• Pla­ton, Répu­blique, livre VII.
• Simone Weil, L’Enracinement [1943], Paris, Flam­ma­rion, coll. « Champs clas­siques », 2014.
• Jean-Fran­çois Lyo­tard, La Condi­tion post­mo­derne, Paris, édi­tions de Minuit, coll. « Cri­tique », 1979.
• Michel Houel­le­becq, Anéan­tir, Paris, Flam­ma­rion, 2022.

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